设 $M$ 是完备的黎曼流形, $\dim M=n\geq 2$, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k$ (这里 $k\geq 0$), $u$ 是 $M$ 上的正调和函数, 则在 $M$ 的任何测地球 $B_a(x)$ 中, 成立

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C_n\Bigl(\frac{1+a\sqrt{k}}{a}\Bigr),\]

其中 $C_n$ 为仅与 $n$ 有关的常数.

推论1: 一个直接推论是, Ricci曲率非负的完备黎曼流形上不存在非常值的正调和函数. (事实上, 根据假设 $k=0$, 令上述不等式中的 $a\rightarrow+\infty$, 则得到 $\nabla u\equiv 0$.)

推论2: 如果 $u$ 仅是 $M$ 中某个半径为 $a$ 的测地球 $B_a$ 的调和函数(不一定是正的), 则在该测地球中, 也成立类似的估计. 具体的.

\[\sup_{B_{a/2}}|\nabla u|\leq C_n\Bigl(\frac{1+\sqrt{k}a}{a}\Bigr)\sup_{B_a}|u|.\]

推论3: (Harnack 不等式) 设 $M$ 为 $n$ 维完备黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k$. 如果 $u$ 是测地球 $B_a$ 中的正调和函数, 则

\[\sup_{B_{a/2}}u\leq C(n,a,k)\inf_{B_{a/2}}u,\]

其中 $C(n,a,k)$ 为仅依赖于 $n,a,k$ 的常数.

推论4: 设 $M^n$ 为完备非紧黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -k,\ (k\geq 0)$, $u$ 是 $M$ 上的正调和函数, 则有

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C(n,\sqrt{k}).\]

注意这里条件 $\text{Ric}(M)\geq -k\geq -(n-1)k$.

推论5: 设 $M^n$ 为完备黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k,\ (k\geq 0)$, 如果 $\Delta u=\lambda u$, $u>0$, $\lambda$ 为常数, 则有

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C(n,\sqrt{k},\lambda),\]

其中 $C(n,\sqrt{k},\lambda)$ 为仅依赖于 $n,k,\lambda$ 的常数.

注: [Yao-Schoen]书中证明P.21,Line.7  $-k(a^2-\rho^2)^2$ 应改为 $-k(n-1)(a^2-\rho^2)^2$.

References:

[Yao-Schoen]丘成桐、孙理察 著 微分几何讲义, 高等教育出版社. 2004年12月.